1. <button id="0wkg9"></button>

            石家莊思銳家教咨詢有限公司

            首頁 | 聯系方式 | 加入收藏 | 設為首頁 | 手機站

            課程輔導

            聯系方式

            聯系人:軒先生
            電話:0311-7674556
            郵箱:service@jsdtianxian.com
            當前位置:首頁 >> 教育資訊 >> 正文

            由一道習題引發的討論

            編輯:石家莊思銳家教咨詢有限公司  時間:2012/03/30  字號:
            摘要:由一道習題引發的討論
            一、案例背景
            我班有個學生,是校競賽班的學生,他平時愛鉆研,喜歡動腦筋。某日,我上了九年級下冊第三章第二節《三角形的內切圓》這節課;第二天,他來找我,神秘地說:“老師,我做了課內練習第1題:已知正三角形的邊長為6cm,求它的內切圓和外接圓的半徑。(答案:內切圓和外接圓的半徑分別為cm和2cm)發現等邊三角形的外接圓和內切圓的圓心相同,等邊三角形的外接圓的半徑是內切圓半徑的2倍;而作業里第6題:已知一塊等腰三角形鋼板的底邊長為60cm,腰長為50cm,(1)求能從這塊鋼板上截得的最大圓的半徑;(答案:最大圓的半徑即內切圓為15cm)(2)用一個圓完全覆蓋這塊鋼板,這個圓的最小半徑是多少?(答案:這個圓的最小半徑即外接圓的半徑31.5cm)(3)求這個等腰三角形鋼板的內心與外心的距離。(答案:6.25cm)發現等腰三角形的外接圓和內切圓的圓心在一條線上,等腰三角形的外接圓的半徑大于內切圓的2倍。這兩個結論對嗎?能證明嗎?”我看著他天真又帶著渴望的臉,抿著嘴瞇著眼淺笑,有些神秘:“喲,不可小覷呵!這么能發現問題啊!”本想立即對這個問題作出正面回答,突然我腦子里一閃:何不如此……于是,我一本正經、賣著關子地對他說:“對這個問題老師一下子也說不好,既然你覺得你的結論可能是對的,老師相信你能夠有辦法證明你發現的結論,不如我們下次上競賽輔導課的時候,大家共同探討一下三角形的有關外接圓的半徑和內切圓的半徑問題,你順便通知競賽班的其他同學,讓他們也參與這個問題的探討?!?br /> 二、案例描述
            幾天后,競賽輔導課如期而至。
            師:同學們,幾天前布置給你們的探討三角形上的外接圓半徑與內切圓的半徑關系的任務進行得怎么樣?
            眾生:我們已經有結果了:三角形上的外接圓半徑R大于等于內切圓的半徑r的2倍!
            師:喲!了不起呵!這么討巧,一不小心同學們個個都變成小歐拉呢!歐拉可是歷史上最偉大的數學家之一!剛才同學們說的結論就是著名的歐拉不等式:若三角形的外接圓的半徑為R,內切圓的半徑為r,則R≥2r。
            學生的臉上洋溢著滿意的微笑。
            師:同學們想到用什么方法證明它了嗎?
            遲疑了一會兒,學生代表(生1)將大家的想法和方案提出來。
            生1:我們有兩個方案,方案1:利用平面幾何知識證明;方案2:建立直角坐標系,利用平面解析幾何知識,通過計算直線的交點的坐標,算出R和r的表達式而證之;但“方案1”不知從何下手,還沒有找出正確的證明方法。方案2:我們建立了直角坐標,標出了三角形各頂點的坐標,然后根據頂點的坐標,利用平面解析幾何知識,通過計算直線的交點的坐標,計算出三角形的外接圓的半徑R和內切圓的半徑r的表達式,可是,R、r的表達式過于繁瑣,難以比較大小,所以還是未能證出“R≥2r”。老師,你能夠給我們提示一下嗎?
            望著學生期待的目光,我心中竊喜。
            在探究活動中,我讓學生展示解決數學問題的思維過程,并發現學生思維障礙所在之處,是教學的切入口、突破口,也是激發學生強烈的求知欲望的源泉,它能夠激發學生思維的積極性,誘發學生的求知欲望,對培養學生的分析問題、解決問題的能力起著非常重要的作用。
            師:同學們,你們能夠從不同角度考慮問題,雖然問題沒有得到解決,但想法還是不錯的。
            學生個個自信地微笑著。
            師:你們用了幾種常規的數學思想方法解決此問題時,都遇到了困難,說明此問題比較困難,那么你們不會將此問題簡單化嗎?!難道你們沒有想到當初是如何發現問題的嗎?
            聽我這么一講,學生的探索愿望重新被點燃,個個躍躍欲試,馬上開始自主嘗試,不一會兒,便有學生想到問題的最特殊的情況(三角形是等邊三角形),命題成立,站起來回答出這種情況的答案。
            生2:當三角形是等邊三角形時,內心、外心、重心、垂心四心合一,由重心定理即得R=2r,命題成立。
            師:哇,精彩!這你也能發現?你真是太聰明了!
            生2滿臉紅光,激動萬分。
            師:那么當三角形△ABC是等腰三角形時,命題成立嗎?
            我把畫有圖(1)第一張幻燈片用幻燈機放出來。這時,學生個個激情昂揚,并不時地議論、爭辯。學生議論紛紛:有的說用三角形相似證明;有的說用射影定理證明;有的說用三角函數知識證明等。學生踴躍思考,各述己見、互不相讓;整個課堂氣氛達到高潮。最后大家經過熱烈的討論、認真分析、演算之后得出當三角形△ABC是等腰三角形的證明情況,由學生代表(生3)回答。
            師:哈哈,你們太聰明、能干了!Very good,Very good!當三角形△ABC是等腰三角形時的情況證明做得很精彩。
            這時學生的臉上洋溢著勝利的微笑,他們個個滿臉紅光,眼中閃爍著智慧的光芒。
            師:但是,當三角形△ABC是等腰三角形的情況還是它的特殊情況,它的一般情況即當三角形△ABC是不等邊三角形時,還有待同學們繼續努力證明出來。
            這時,我將畫有圖(2)的第二張幻燈片用幻燈機放出來。學生努力、積極地思考著……
            過了一會兒,學生還想不出什么。于是我就提醒學生用第一步已證的結論。
            師:當三角形△ABC是等腰三角形時命題已經成立,你們能否將它用來證明現在的結論呢?
            于是我在第二張幻燈片上加上圖(3)。然而學生還是想不出來如何將三角形△ABC與三角形△A″BC連起來考慮。于是,我在第二張幻燈片上加上圖(4)、圖(5)。這一下,學生都看清楚了,紛紛舉手發言,講出證明過程。
            生4:在圖(4)中,等腰△ABC與三角形△A′BC的面積相等,但△ABC的周長比三角形△A′BC的周長長,因而△ABC的內切圓的半徑比三角形△A′BC的內切圓的半徑小,所以△ABC的內切圓的半徑小于△A′BC的外接圓的半徑的一半;在圖(5)中,△A′BC的外接圓的半徑小于△A″BC的外接圓的半徑,△ABC與△A″BC共圓,它們的外接圓的半徑一樣,因此△ABC的內切圓的半徑小于△ABC的外接圓的半徑的一半,命題得證。
            生5:在圖(5)中,∠A″BC>∠ABC,所以∠A″BC的平分線與底邊上的高的交點(內心)在∠ABC的平分線與底邊上的高的交點(內心)的上方,因而△ABC的內切圓的半徑小于△A″BC的內切圓的半徑,因此,△ABC的內切圓的半徑小于△ABC的外接圓的半徑的一半,即△ABC的內切圓的半徑小于△A″BC的外接圓的半徑的一半,命題得證。
            師:你們實在太厲害了!如果你們早生幾百年,個個都會是小歐拉。
            我接著在第二張幻燈片上加上解題過程,將它放映出來。
            證明:設:等腰△A″BC與等腰△ABC的外接圓的半徑為R(它們共圓),內切圓的半徑分別為r″、r,△ABC的面積為S,周長為C,△A′BC的外接圓的半徑為R′,內切圓的半徑分別為r′,面積為S′,周長為C′。
            ∵△ABC與△A′BC等高同底,
            ∴S=S′。
            ∵2S=Cr=AB+AC+BC,2S′=C′r′=A′B+A′C+BC。
            A′B+A′C數形結合看出來,或平面幾何知識證明 />  ∴r  ∵2r′  ∴2r  ∵△A′BC在圓內,
            ∴R′  ∴2r  在學生出現思維障礙之后,我加以正確的引導。幫助學生分析問題,克服學生思維障礙,找出解決問題的方法,是教學成功的關鍵,是我們的天職,也是我們教學的主要目的之一。
            上一條:初中英語閱讀教學的實踐與思考 下一條:課堂教學淺談
            国产免费观看黄A片又黄又硬,国产精品无码久久av,sao虎视频最新网站入口,高雅人妻被迫沦为玩物